Titres et Résumés
- Daniel Bertrand (Paris), Périodes et exponentielles sur les schémas abéliens
Je décrirai d'abord un travail récent avec A. Pillay, où nous étendons aux variétés abéliennes A sur un corps de fonctions K le théorème d'Ax sur les exponentielles de fonctions algébriques. La preuve est galoisienne, et met en jeu le corps des périodes de A. Je construirai ensuite une tour de sous-corps de la clôture différentielle de K, dont les groupes de Galois relatifs éclairent les difficultés du passage aux variétés semi-abéliennes générales.
- Gaël Cousin (Strasbourg), Déformations isomonodromiques algébriques
L’exposé portera sur les connexions logarithmiques sur les courbes et leurs déformations isomonodromiques. On introduira une notion d’algébrisabilté pour le germe de déformation isomonodromique universelle d’une telle connexion. Le résultat principal est le suivant (avec quelques hypothèses) : Pour un connexion logarithmique D sur un fibré vectoriel au dessus de CP1, la déformation isomonodromique universelle de D est algébrisable si et seulement si la classe de conjugaison de sa monodromie a une orbite finie sous le Mapping Class Group de la sphère épointée. On mentionnera l’étude analogue pour les courbes de genre supérieur, en cours avec Viktoria Heu.
- Eric Delaygue (Lyon), Autour des congruences de Dwork et de Lucas
L'existence de congruences de Dwork et/ou de Lucas pour les coefficients de G-fonctions permet souvent de démontrer l'indépendance algébrique de ces fonctions ou l'intégralité des coefficients de Taylor d'applications miroir associées. Après avoir rappelé ces applications, je montrerai comment obtenir ces congruences pour de nombreux exemples classiques de la littérature à l'aide des séries hypergéométriques ou des termes constants de puissances de polynômes de Laurent. Cet exposé traitera de travaux en commun avec B. Adamczewski, J. P. Bell, T. Rivoal, J. Roques et M. Vlasenko.
- Stéphane Fischler (Paris), Microsolutions d'opérateurs différentiels et transformation de Laplace
Une microsolution d'un opérateur différentiel D (à coefficients dans C[z]) en une singularité z_0 est essentiellement une fonction f telle que Df soit holomorphe en z_0, vue modulo les fonctions holomorphes en z_0. Lorsque l'infini est une singularité régulière de D, on peut recoller des microsolutions données en chaque singularité finie, et obtenir une fonction f telle que Df soit un polynôme. Si D est Fuchsien, cela permet de prolonger la transformation de Laplace (comme l'a fait Yves André en utilisant le calcul opérationnel). Il s'agit d'un travail en commun avec Tanguy Rivoal.
- Javier Fresan (Zürich), Une théorie de Galois pour les périodes exponentielles
Les périodes exponentielles forment une classe des nombres complexes contenant les valeurs spéciales de la fonction gamma et les fonctions de Bessel, la constante γ d’Euler, ainsi que d’autres nombres intéressants qui ne sont pas censés être des périodes au sens usuel de la géométrie algébrique. Cependant, on peut les interpréter comme des coefficients d’un isomorphisme de comparaison entre deux théories cohomologiques : la cohomologie de de Rham d’une connexion à singularités irrégulières et une cohomologie dite “à décroissance rapide”. Dans cet exposé, j’expliquerai comment ce point de vue permet de définir une catégorie tannakienne des motifs exponentiels “à la Nori” et de produire des groupes de Galois qui contrôlent conjecturalement les relations algébriques entre ces nombres. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Peter Jossen.
- Viktoria Heu (Strasbourg), Déformations isomonodromiques en genre 2
Dans un travail en collaboration avec Frank Loray, nous avons construit l’espace de modules de triples (X,E,nabla), où X est une surface de Riemann compacte de genre 2, E est un fibré vectoriel de rang 2 sur X et nabla est une connexion holomorphe irréductible sans trace sur E. Nous montrons que le feuilletage isomonodromique explicitement construit dans cet espace est transverse au lieu, également explicit, où le fibré E est trivial. Nous obtenons un corollaire lié au problème de Riemann-Hilbert : l’application qui à une connexion sur le fibré trivial associe sa monodromie est un difféomorphisme local. Ce corollaire a été démontré simultanément et indépendamment par Gabriel Calsamiglia et Bertrand Deroin, et nous sommes en train de réunir les deux approches.
- Jean-Marie Maillard (Paris), Etude des séries à coefficients entiers en mécanique statistique sur réseau ou combinatoire énumérative, solutions d'équations différentielles linéaires ou non-linéaires
Des travaux récents ont permis de comprendre que toutes les propriétés remarquables des opérateurs différentiels linéaires annulant des intégrales n-uples apparaissant en mécanique statistique sur réseau, ou combinatoire énumérative, (exposants critiques rationnels, p-courbure de l'opérateur, développements en séries à coefficients entiers, ...) étaient la conséquence du fait que ces intégrales n-uples au delà d'etre dans la terminologie à la Zagier des "Périodes" (Derived from Geometry) sont, en fait, des diagonales de fonctions rationnelles. Dans cet esprit il a aussi été vu d'un point de mathématique expérimentale sur un nombre conséquent d'exemples de diagonales de fonctions rationnelles, que de telles séries conduisant dans les cas les plus simples à des formes modulaires ou des Calabi-Yau, étaient, en toute généralité, annulées par des G-opérateurs ayant "presque toujours" des groupes de Galois différentiels symplectiques ou orthogonaux. Cette propriété de symétrie supplémentaire de ces opérateurs différentiels, que l'on aurait tendance, a priori, à voir comme conséquence d'une propriété issue du cadre "physique", ou souvent "intégrable", de ces intégrales n-uples, apparait donc, en fait, comme associé à l'émergence "naturelle" de diagonales de fonctions rationnelles en physique théorique. Nous chercherons à découvrir les conditions précises sur les diagonales de fonctions rationnelles, pour qu'elles soient annulées par des opérateurs différentiels linéaires ayant des groupes de Galois différentiels spéciaux (i.e tels que ces opérateurs sont homomorphes à leurs adjoints). L'émergence "naturelle" de diagonales de fonctions rationnelles en physique a une conséquence arithmético-algébrique tout à fait inattendue, à savoir le fait que ces séries à coefficients entiers, se réduisent à des fonctions algébriques modulo tout premier ou puissance de premiers. Nous esquisserons un début d'exploration de ce très vaste univers holonome, extremement riche et structuré, que constitue les diagonales de fonctions rationnelles, dans une optique de classification prenant en compte toutes ces propriétés et structures de différentes origines mathématique (algèbre différentielle, analyse complexe, théorie des singularités, géométrie algébrique, géométrie différentielle, arithmétique, ...). Toujours dans le cadre des séries à coefficients entiers, apparaissant en combinatoire énumérative, mécanique statistique sur réseau, physique théorique, des travaux récents ont permis de comprendre l'émergence d'un grand nombre de séries, ayant la propriét arithmétique des diagonales de fonctions rationnelles de se réduire à des fonctions algébriques modulo tout premier ou puissance de premier, alors que ces séries ne sont pas holonomes. La quasi-totalité de ces séries s'avèrent être "différentiellement algébriques" (i.e. solutions d'équations différentielles non-linéaires, la non-linéarité étant encodée par un polynôme de la variable, de la fonction et d'un nombre fini de ses dérivées), la question restant ouverte pour les autres. L'ensemble des séries non-holonomes à coefficients entiers se réduisant à des fonctions algébriques, modulo tout premier ou puissance de premiers, a une propriété de fermeture pour la composition des séries. Rappellons qu'être "différentiellement algébrique" est aussi une propriété fermée pour la composition des fonctions. Les quotients de diagonales de fonctions rationnelles, ainsi que les compositions de diagonales de fonctions rationnelles, engendrent naturellement des séries à coefficients entiers, se réduisant à des fonctions algébriques modulo tout premier ou puissance de premier, par ailleurs de telles séries sont "différentiellement algébriques". On peut donc voir l'étude des séries à coefficients entiers différentiellement algébriques comme une généralisation naturelle de l'étude des diagonales de fonctions rationnelles, les unes et les autres apparaissant naturellement en physique théorique (mécanique statistique, combinatoire énumérative, ...).
- Julien Marché (Paris), Problèmes asymptotiques liés au polynômes de Jones.
Les polynômes de Jones coloriés des nœuds dans S^3 sont des invariants très simples à définir mais à l'origine topologique mystérieuse. Le seul lien qu'ils partagent avec des objets plus classiques de la théorie des noeuds sont des formules asymptotiques, essentiellement conjecturales. Je présenterai quelques exemples et détaillerai un peu le cas traité en collaboration avec L. Charles.
- Amador Martin-Pizarro (Lyon), Groupes définissables dans des expansions de corps algébriquement clos
Grâce au théorème de la configuration de groupe de Hrushovski, Pillay donne une caractérisation de groupes algébro-différentiels qui s'avère fort utile en théorie de Galois différentielle. De caractérisations similaires ont été montrées pour de nombreuses expansions de corps algébriquement clos, entre autres, les corps aux différences génériques. Dans cet exposé, qui ne présuppose pas de connaissances modèle-théoriques, nous allons introduire les ingrédients principales de ces caractérisations ainsi que de discuter progrès récent sur les groupes définissables dans une troisième expansion de corps algébriquement clos : le mauvais corps construit par collapse du corps vert. On verra la relation entre ces objets, les nombres premiers de Mersenne et un cas particulier de la conjecture de Pink-Zilber sur les intersections atypiques.
- Jacques Sauloy (Toulouse), Espace des données de monodromie pour la famille de Jimbo-Sakai
Jimbo et Sakai ont "dérivé" l'équation aux q-différences non-linéaire q-PVI (considérée comme un q-analogue de Painlevé VI) à partir de conditions qu'ils assimilent à de l'isomonodromie. Nous (= Ohyama, Ramis, Sauloy) essayons de donner à leur méthode un fondement géométrique.
- Juan Viu-Sos (Pau), Une réduction semi-canonique pour des périodes de Kontsevich-Zagier
Introduites par M. Kontsevich et D. Zagier en 2001, les périodes sont des nombres complexes dont les parties réelle et imaginaire sont valeurs d'intégrales absolument convergentes de fonctions Q-rationnelles sur des domaines Q-semi-algébriques réels. La conjecture de Kontsevich-Zagier affirme que toutes les relations polynomiales existant entre des périodes peuvent être obtenues à partir de relations linéaires provenant des règles classiques de calcul intégrale entre les représentations intégrales. Dans cet exposé, nous allons présenter une réduction semi-canonique pour périodes, qui nous permet de développer une approche géométrique des périodes et de leurs problèmes.
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